Lintukoto logo

Lintukoto / Agora / Alkeisalgebra

Lintukoto etusivu > Agora > Kaikki kirjoitukset

Pidätkö?


10 käyttäjää paikalla, sivulatauksia 9/min.

Lisää kirjoituksia aiheesta Tiede tai muista aiheista.

Tiivistelmä: Yhteen- ja vähennyslaskusta voi päätellä kaikenlaista 2 293 lukijaa, joista 185 eli 8% on antanut arvosanan (8-).

Alkeisalgebra

Värien avulla esitetty kompleksilukufunktio: (x^2-1) * (x-2-i)^2 / (x^2+2+2i) Rocchini

Yhteen- ja vähennyslasku

On hyödyllistä osata yhteen- ja vähennyslaskua. Arabit kutsuivat taitoa algebraksi aikana jolloin tunnettiin nolla ja positiiviset kokonaisluvut. Algebra koskee yhteen- ja vähennyslaskun sääntöjä ja niistä pääteltyjä uusia sääntöjä. Kerto- ja jakolasku ovat vain eri merkintätapoja yhteen- ja vähennyslaskulle. Kolmessa puussa on kaikissa kaksi omenaa, (1+1) + (1+1) + (1+1) = 3 * 2. Kertomerkki * on vain lyhyempi tapa sanoa sama asia. Jakolasku on vastaavasti pitkän vähennyslaskun lyhyempi merkintä.

Algebran sääntöjä kirjoitettiin ylös eri puolilla maailmaa. Nykyään nämä säännöt tuntuvat itsestäänselvyyksiltä, esim. jos a = b, niin b = a. Säännöistä pystyy päättelemään lisää sääntöjä. Yllättäen luonnonlait käyttäytyivät myös näiden pääteltyjen sääntöjen mukaan. Ensimmäisen kerran saimme uutta tietoa luonnosta laskemalla. Nykyään pystymme ilmaisemaan tuntemamme luonnonlait parhaiten juuri matematiikalla.

Numeroiden osat

Kun algebran sääntöjä käytti, tuli tilanteita, joissa jako ei mennyt tasan. Lapsia oli viisi ja omenia seitsemän. Omenoita ei voinut jakaa tasan rikkomatta niitä. Numeroita laajennettiin käyttämällä sääntöjä numeroiden osiin ja sehän toimi. Murtoluvut merkitsevät jotain vain sellaisten asioiden kanssa, joita voi rikkoa osiin. Tärkeintä oli, että luonnonlait yhä käyttäytyivät laskujen tulosten mukaan.

Vähemmän kuin ei mitään

Myös muita ongelmia ilmeni. Esim. laskulle 2 – 4 ei ollut ratkaisua. Jos pojan kahdesta omenasta ottaa pois neljä, niin tuloksessa ei ole järkeä. Joku ehdotti, että myös nollaa pienempiä lukuja voisi harkita. Algebran säännöt sopivat niihinkin. Nyt pojalla oli -2 omenaa. Siinä ei ole vieläkään järkeä, sillä negatiiviset luvut toimivat ainoastaan kun jotain voi olla vähemmän kuin ei mitään. Vaikka kun on käyttänyt lainatut rahat. Numeroiden merkitys oli taas muuttunut.

Järjettömät numerot

Kertolaskun toiston, 2 * 2 * 2, voi merkitä lyhemmin 23. Tällöin hommaa kutsutaan potenssiin korottamiseksi. Tämä johti ratkaisemattomaan ongelmaan. Mikä luku pitää kertoa itsellään, että tulos on 2? eli x2 = 2. Vastaus on √2, eli 1.412....Tämä on loppumaton numero, joka ei kuulunut tunnettuihin numeroihin. Koska numerot ovat tarkkoja, vain murtolukujen voi antaa jatkua loputtomasti.

Loppumattomia numeroita, joita ei voi esittää murtolukuina, ruvettiin kutsumaan irrationaalisiksi eli järjettömiksi. Aluksi numeron äärettömyyden käsite oli mahdoton ymmärtää. Meiltä meni 2000 vuotta asian hyväksymiseen kunnes Richard Dedekind onnistui yhdistämään irrationaali- ja rationaaliluvut reaaliluvuiksi.

Jos samaa yhtälöä yrittää ratkaista päinvastoin tulee vastaava ongelma. Mihin potenssiin kaksi pitää korottaa, jotta saadaan 2? Eli 2x = 2. Matemaatikot kutsuivat ratkaisua ensimmäiseen ongelmaan eksponentiksi ja käänteisen ongelman ratkaisua logaritmiksi. He lakaisivat mahdottomat ongelmat maton alle antamalla niille nimet ja algebran matka jatkui. Jujua kutsutaan abstrahoinniksi.

Mielikuvitusnumerot

Algebran säännöt koskevat kaikkia numeroita, mutta mitä saadaan kun otetaan neliöjuuri negatiivisesta luvusta. Mitä on √-1 tai x2 = −1? Joku keksi nimetä tämän ongelman ratkaisun i:ksi. i = √-1. Itse Descarates antoi nimen näille numeroille. Hän piti niitä mielikuvituksen tuotteena ja puhui imaginääriluvuista. Imaginääri- ja reaalinumeroista voi muodostaa kompleksilukuja, 5 + 2i. Näillä ei ole merkitystä päivittäisessä elämässä, mutta ne ovat yhtä todellisia kuin kokonaisluvutkin. Luonnonlait käyttäytyvät niiden mukaan.

Algebra = geometria

Matemaatikot kehittivät menetelmiä laskea arvioita logaritmeista. Lopulta Henry Briggs laski taulukot, joita käytettiin 300 vuotta. Kun eksponentteja laski perättäin loputtomasti selvisi, että niillä pystyy laskemaan sinin ja kosiinin käyttäen kompleksilukuja. Sini ja kosiini ovat trigonometrian funktiota, joilla ratkaistaan geometrian ongelmia.

Algebra ja geometria ovat sama asia tai eri näkökulmia samaan asiaan.

-Teemu, 15.10.2007

Arvosanajakauma
4
5
6
7
8
9
10
Kaikki 10 kommenttia
Kommentit
#6831

Algebran ja geometrian yhteydestä voisi mainita Descarteen, joka kehitti analyyttisen geometrian. Lisäksi tarina kertoo että Descartes huomasi yhteyden nukkuessaan uunissa(?!) ollessaan vakavasti sairas.

-Jake, 15.10.2007

#6832

Ihan kiva teksti, mutta missä on tekstin pointti? Samat asiat oppii (tai ainakin pitäisi oppia) peruskoulun tai viimeistään lukion matikantunneilla, eikä tässä tuotu oikeen mitään erikoista näkökulmaa tai jotain tajunnanräjäyttävää uutta tietoa esille.

-Tatone, 15.10.2007

#6834

Kirjoituksessa ei ole pointtia tai mielipidettä.

Kuunneltuani Richard Feynmanin luentoja kiinnostuin tutkimaan miten pääsimme eteenpäin kivien laskemisesta. Halusin jakaa löytämäni tarinan täällä, koska se on mielestäni itsessään mielenkiintoinen.

Lukiossa opetetaan samat asiat. Jostain syystä minä opin lähinnä kaavoja laskin laskuja. En koskaan osannut arvostaa ajattelua, joka jonka avulla päättelimme kaiken yhteen- ja vähennyslaskusta. Nyt tuntuu, että tuo ajattelu on kaiken ydin.

Algebran kanssa huomaa nopeasti, että ajattelussa on tarvitaan vain kaksi tärkeää työkalua: teorian laajennus ja ongelmien absrahointi.

Vaikka työkalut ovat yksinkertaiset ja lähtötiedoiksi riittävät positiiviset kokonaisluvut, niin matka ei ollut helppo. Usein löysimme oikean ratkaisun, mutta emme uskoneet sitä. Asian hyväksymiseen meni pitempi aika kuin ongelman ratkaisuus.

Lisäksi tarinasta näkyy tieteen ennustamisen vaikeus. Kun etsimme ratkaisuja ongelmiin, niin emme voi tietää mitä löydämme. Voi olla, että johonkin tiettyyn tulokseen tähtäävät tutkimusohjelmat ovat turhia. Meidän kannattaa vain yrittää oppia lisää maailmasta ja katsoa mihin se johtaa. Kun emme hakkaa päätämme ongelmiin, joita on mahdoton ratkaista, pääsemme eteenpäin nopeammin.

-Teemu, 16.10.2007

#6836

“Nykyään pystymme ilmaisemaan kaikki luonnonlait matemaattisesti.” Tämä on kovin, oikeastaan aivan liiankin, optimistisesti sanottu. Emme pysty. Pystymme esittämään joitakin likiarvoja ja yleistyksiä joillekin tuntemillemme luonnonlaille.

Muuten kirjoitus on hyvin mielenkiintoinen ja ajatuksia herättävä. Ei tällaisia asioita fysiikassa tai matematiikassa opeteta. Ne aineet keskittyvät uusimman tiedon saamiseen oppilaan päähän mahdollisimman tehokkaasti ja näin pitää ollakin.

Filosofia ja tässä tapauksessa tieteen filosofia on se tieteenala, jossa ajattelun ja varsinkin tieteellisen ajattelun kehitystä tutkitaan ja opetetaan.

Esim TKK:lla aihetta voi opiskella kurssilla Mat-1.041

-Ylermi, 16.10.2007

#6838

Totta. Emme edes tiedä tunnemmeko kaikkia luonnonlakeja. Muutin tuon lauseen. Kiitos parannuksesta.

-Teemu, 16.10.2007

#6839

Hieno ja kiinnostava teksti, mutta sen tarkoitus jäi epäselväksi. Sehän kertoo vain matematiikasta ja sen historiasta. Vaikka pitkiä tekstejä ei useinkaan täällä Agorassa jaksa lukea loppuun asti, minua aihe kiinnosti. Mutta mihin Teemu oikein kirjoituksellaan pyrkii, sitä en tajua. Ja on se oikeastaan ihan hyvä, että monet asiat siinä ovat ala-asteella opittavia, nuorimmat lukijat tajuavat todennäköisesti ainakin jotain.

-PP, 16.10.2007

#6842

No oli mielenkiintoinen kirjoitus. En ole perehtynyt matematiikkaan koskaan pintaa syvemmältä tai pohtinut erilaisten matemaattisten käsitteiden historiaa. En muista niitä koskaan erityisemmin opettajienkaan käsitelleen. Tämä kiinnosti. Tarvitaanko kirjoitukseen muuta syytä?

-Malla, 16.10.2007

#6844

Kirjoittajallahan oli tärkeää sanottavaa. Ja harvoin näkee että matematiikkaa on esitetty noinkin tenhoavasti. Ja olihan siellä se asiakin. Se opetti, miten “teorian laajennus” ja “ongelmien absrahointi” ovat voimakkaita työkaluja ajattelun pakissa. Siinä sitä on jo sanomaa riittävästi.

Melkein tuli kyynel simmuun, kun oli niin kaunista.

-Neo-Konservatiivi, 16.10.2007

#6861

ihan okeiii, mut en kyl tajunnu ei kaikki oo syntyny neroix h3i d44........

-Ihkuu, 21.10.2007

#6885

Ei noita asioita opi missään peruskoulussa! Eikä vielä lukiossakaan, varsinkaan lyhyellä matematiikalla. Osa noista asioista tuli vastaani vasta insinööriopinnoissa.

Vaikka tekstissä ei ehkä ole mitään “pointtia”, se on yleissivistävä ja ottaa lukijasta riippuen kantaa matematiikan teoria-asioiden opetukseen.

-mediainsinööri, 23.10.2007

Oma kommentti
Kommentti Älä käytä HTML-tägejä viestissäsi, vaan pelkkää tekstiä. Linkit muodossa http://...
Nimi
Tarkistus Paljonko on kaksitoista ynnä viisi?
 

Agora on julkinen foorumi jossa voit julkaista kirjoituksesi. Kaikki voivat lukea, kommentoida ja arvostella kirjoituksia mutta julkaiseminen edellyttää rekisteröitymistä. Kirjoitukset jaetaan useisiin eri aiheisiin.

Lisää kirjoituksia aiheesta Tiede tai muista aiheista.

Sinua saattaa kiinnostaa myös jokin seuraavista: