Lisää kirjoituksia aiheesta Tiede tai muista aiheista.
Tiivistelmä: Yhteen- ja vähennyslaskusta voi päätellä kaikenlaista 2 758 lukijaa, joista 400 eli 15% on antanut arvosanan (7½).
Alkeisalgebra
Yhteen- ja vähennyslasku
On hyödyllistä osata yhteen- ja vähennyslaskua. Arabit kutsuivat taitoa algebraksi aikana jolloin tunnettiin nolla ja positiiviset kokonaisluvut. Algebra koskee yhteen- ja vähennyslaskun sääntöjä ja niistä pääteltyjä uusia sääntöjä. Kerto- ja jakolasku ovat vain eri merkintätapoja yhteen- ja vähennyslaskulle. Kolmessa puussa on kaikissa kaksi omenaa, (1+1) + (1+1) + (1+1) = 3 * 2. Kertomerkki * on vain lyhyempi tapa sanoa sama asia. Jakolasku on vastaavasti pitkän vähennyslaskun lyhyempi merkintä.
Algebran sääntöjä kirjoitettiin ylös eri puolilla maailmaa. Nykyään nämä säännöt tuntuvat itsestäänselvyyksiltä, esim. jos a = b, niin b = a. Säännöistä pystyy päättelemään lisää sääntöjä. Yllättäen luonnonlait käyttäytyivät myös näiden pääteltyjen sääntöjen mukaan. Ensimmäisen kerran saimme uutta tietoa luonnosta laskemalla. Nykyään pystymme ilmaisemaan tuntemamme luonnonlait parhaiten juuri matematiikalla.
Numeroiden osat
Kun algebran sääntöjä käytti, tuli tilanteita, joissa jako ei mennyt tasan. Lapsia oli viisi ja omenia seitsemän. Omenoita ei voinut jakaa tasan rikkomatta niitä. Numeroita laajennettiin käyttämällä sääntöjä numeroiden osiin ja sehän toimi. Murtoluvut merkitsevät jotain vain sellaisten asioiden kanssa, joita voi rikkoa osiin. Tärkeintä oli, että luonnonlait yhä käyttäytyivät laskujen tulosten mukaan.
Vähemmän kuin ei mitään
Myös muita ongelmia ilmeni. Esim. laskulle 2 – 4 ei ollut ratkaisua. Jos pojan kahdesta omenasta ottaa pois neljä, niin tuloksessa ei ole järkeä. Joku ehdotti, että myös nollaa pienempiä lukuja voisi harkita. Algebran säännöt sopivat niihinkin. Nyt pojalla oli -2 omenaa. Siinä ei ole vieläkään järkeä, sillä negatiiviset luvut toimivat ainoastaan kun jotain voi olla vähemmän kuin ei mitään. Vaikka kun on käyttänyt lainatut rahat. Numeroiden merkitys oli taas muuttunut.
Järjettömät numerot
Kertolaskun toiston, 2 * 2 * 2, voi merkitä lyhemmin 23. Tällöin hommaa kutsutaan potenssiin korottamiseksi. Tämä johti ratkaisemattomaan ongelmaan. Mikä luku pitää kertoa itsellään, että tulos on 2? eli x2 = 2. Vastaus on √2, eli 1.412....Tämä on loppumaton numero, joka ei kuulunut tunnettuihin numeroihin. Koska numerot ovat tarkkoja, vain murtolukujen voi antaa jatkua loputtomasti.
Loppumattomia numeroita, joita ei voi esittää murtolukuina, ruvettiin kutsumaan irrationaalisiksi eli järjettömiksi. Aluksi numeron äärettömyyden käsite oli mahdoton ymmärtää. Meiltä meni 2000 vuotta asian hyväksymiseen kunnes Richard Dedekind onnistui yhdistämään irrationaali- ja rationaaliluvut reaaliluvuiksi.
Jos samaa yhtälöä yrittää ratkaista päinvastoin tulee vastaava ongelma. Mihin potenssiin kaksi pitää korottaa, jotta saadaan 2? Eli 2x = 2. Matemaatikot kutsuivat ratkaisua ensimmäiseen ongelmaan eksponentiksi ja käänteisen ongelman ratkaisua logaritmiksi. He lakaisivat mahdottomat ongelmat maton alle antamalla niille nimet ja algebran matka jatkui. Jujua kutsutaan abstrahoinniksi.
Mielikuvitusnumerot
Algebran säännöt koskevat kaikkia numeroita, mutta mitä saadaan kun otetaan neliöjuuri negatiivisesta luvusta. Mitä on √-1 tai x2 = −1? Joku keksi nimetä tämän ongelman ratkaisun i:ksi. i = √-1. Itse Descarates antoi nimen näille numeroille. Hän piti niitä mielikuvituksen tuotteena ja puhui imaginääriluvuista. Imaginääri- ja reaalinumeroista voi muodostaa kompleksilukuja, 5 + 2i. Näillä ei ole merkitystä päivittäisessä elämässä, mutta ne ovat yhtä todellisia kuin kokonaisluvutkin. Luonnonlait käyttäytyvät niiden mukaan.
Algebra = geometria
Matemaatikot kehittivät menetelmiä laskea arvioita logaritmeista. Lopulta Henry Briggs laski taulukot, joita käytettiin 300 vuotta. Kun eksponentteja laski perättäin loputtomasti selvisi, että niillä pystyy laskemaan sinin ja kosiinin käyttäen kompleksilukuja. Sini ja kosiini ovat trigonometrian funktiota, joilla ratkaistaan geometrian ongelmia.
Algebra ja geometria ovat sama asia tai eri näkökulmia samaan asiaan.
-Teemu, 15.10.2007
| 4 | |
| 5 | |
| 6 | |
| 7 | |
| 8 | |
| 9 | |
| 10 |
Agora on julkinen foorumi jossa voit julkaista kirjoituksesi. Kaikki voivat lukea, kommentoida ja arvostella kirjoituksia mutta julkaiseminen edellyttää rekisteröitymistä. Kirjoitukset jaetaan useisiin eri aiheisiin.
Lisää kirjoituksia aiheesta Tiede tai muista aiheista.
Sinua saattaa kiinnostaa myös jokin seuraavista: